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振動(dòng)傳感器模態(tài)分析是一種研究系統(tǒng)振動(dòng)特性的分析方法，可以分為：解析模態(tài)分析和試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。
解析法，在事先知道結(jié)構(gòu)的幾何形狀、邊界條件和材料特性的前提下，將結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布、剛度分布和阻尼分布分別用質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣表示出來(lái)，這樣便有了足夠的信息來(lái)確定系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)（固有頻率、阻尼系數(shù)、模態(tài)振型）。理論證明，這些模態(tài)參數(shù)可以完整地描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。實(shí)驗(yàn)法，從測(cè)量結(jié)構(gòu)（樣機(jī)）上某些點(diǎn)的動(dòng)態(tài)輸入力和輸出響應(yīng)開(kāi)始。并且一般還要將測(cè)量得到的數(shù)據(jù)振動(dòng)傳感器轉(zhuǎn)換成頻響函數(shù)，即作為頻率函數(shù)的輸出輸入之比。理論證明，這些頻響函數(shù)可以用模態(tài)參數(shù)表示。因此實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的第二步就是從測(cè)得的頻響函數(shù)來(lái)估計(jì)這些模態(tài)參數(shù)。不管是哪種模態(tài)分析，都需要滿足以下幾點(diǎn)假設(shè)：
線性假設(shè)：結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性是線性的，就是說(shuō)任何輸入組合引起的輸出等于各自輸出的組合，其動(dòng)力學(xué)特性可以用一組線性二階微分方程來(lái)描述。每次進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先檢查結(jié)構(gòu)的線性動(dòng)態(tài)特性（將在后面涉及如何操作）。時(shí)不變假設(shè)：結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性不隨時(shí)間而變化，振動(dòng)傳感器因而微分方程的系數(shù)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。由于不得不安裝在結(jié)構(gòu)上的運(yùn)動(dòng)傳感器的附加質(zhì)量，可能出現(xiàn)典型的時(shí)不變問(wèn)題?？捎^測(cè)假設(shè)：這意味著用以確定所關(guān)心的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性所需要的全部數(shù)據(jù)都是可以觀測(cè)的。為了避免出現(xiàn)可觀測(cè)性問(wèn)題，合理選擇響應(yīng)自由度是非常重要的。此外還常常假設(shè)結(jié)構(gòu)遵從Maxwell互易定理，即在q點(diǎn)輸入所引起的p點(diǎn)的響應(yīng)等于p點(diǎn)相同輸入引起的q點(diǎn)的響應(yīng)。此假設(shè)使得質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和頻響函數(shù)矩陣都成了對(duì)陣矩陣。多輸入試驗(yàn)允振動(dòng)傳感器許對(duì)所測(cè)的頻響函數(shù)做互易性檢查。在 機(jī)械振動(dòng)理論(2)-多自由度系統(tǒng) 中，用到的模態(tài)分析方法實(shí)際上是解析復(fù)模態(tài)分析，適用于各種阻尼形式。
為了從數(shù)學(xué)角度揭示模態(tài)分析的本質(zhì)，這里主要針對(duì)兩自由度系統(tǒng)解析實(shí)模態(tài)分析方法（實(shí)模態(tài)：對(duì)于滿足或假設(shè)滿足無(wú)阻尼或比例阻尼的系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)，振動(dòng)系統(tǒng)中各點(diǎn)的相位差為 或 ，模態(tài)振型系數(shù)為實(shí)數(shù)[1]）進(jìn)行整理與總結(jié)。
例如，下圖是一個(gè)由彈簧-質(zhì)量塊-阻尼器串聯(lián)構(gòu)成的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)，假設(shè)是粘性阻尼：
兩自由度比例阻尼系統(tǒng)在自振動(dòng)傳感器由振動(dòng)情況下（無(wú)外力施加），根據(jù)Newton第二定律，該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程組如下：
寫(xiě)成矩陣形式為：
或者：
其中， 和 分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和位移向量。
接下來(lái)的任務(wù)是想得到該系統(tǒng)各個(gè)坐標(biāo)在每一時(shí)刻的位移，也就是式 的解。
式 是二階常系數(shù)線性微分方程組，其時(shí)域解具有自然指數(shù)形式 ，詳見(jiàn)：如何推導(dǎo)高階常系數(shù)線性常微分方程的解具有自然指數(shù)形式的充分必要條件？
且對(duì)于每個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程，其對(duì)應(yīng)的解均為兩個(gè)指數(shù)呈復(fù)共軛的自然指數(shù)函數(shù)的線性組合。參考：振動(dòng)傳感器高等數(shù)學(xué)齊次微分方程的通解形式。依據(jù)歐拉公式，詳見(jiàn)："上帝公式"(歐拉公式)真的神到無(wú)法觸碰？ ，兩個(gè)指數(shù)呈復(fù)共軛的自然指數(shù)函數(shù)的線性組合可以寫(xiě)為以一個(gè)固有頻率振動(dòng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)形式，由此可知：對(duì)于兩自由度系統(tǒng)（對(duì)應(yīng)兩個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程），其每個(gè)坐標(biāo)的振動(dòng)位移均可視為兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)線性疊加的結(jié)果。
對(duì)于實(shí)模態(tài)分析，這里假設(shè)其阻尼滿足粘性比例阻尼，即 。那么在這種情況下，就可以在忽略阻尼項(xiàng)的情況下尋找特征值和特征向量（后面會(huì)涉及到），且該特征向量也振動(dòng)傳感器可以使得阻尼矩陣解耦。[2]
將其自然指數(shù)形式解 帶入到式 中， 代表坐標(biāo) 的振動(dòng)幅值和方向，并忽略阻尼項(xiàng)，并兩邊除以非零項(xiàng) ，得到：
為了得到式 的解 ，一種情況是令 ，得到了平凡解（trivial solution），是我們不太關(guān)心的。另一種情況是令 ，也是我們主要關(guān)心的情況。
根據(jù)線性代數(shù)中的克萊姆法則，由 個(gè)方程構(gòu)成的 元齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為零時(shí)，齊次方程組只有零解（平凡解）。所以如果式 具有非零解（非平凡解），那么系數(shù)矩陣的行列式必須為零。
該行列式稱為該振動(dòng)系統(tǒng)的特征方程或特征多項(xiàng)式。
通過(guò)線振動(dòng)傳感器性代數(shù)知識(shí)可以得到矩陣 的特征值和特征向量。這里的特征值對(duì)應(yīng)于振動(dòng)的固有頻率的平方，特征向量對(duì)應(yīng)于振動(dòng)的振型。
展開(kāi)式 ，得到：
對(duì)于該兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)，在不考慮重根的情況下，具有兩個(gè)不同的特征值，并且每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量。假設(shè)兩個(gè)特征值分別為： 和 ，那么固有頻率為：
且這里規(guī)定， 振動(dòng)傳感器模態(tài)振型表示的是：各個(gè)物理坐標(biāo)間的相對(duì)振動(dòng)幅度和方向。
對(duì)于該兩自由度系統(tǒng)，為了找到系統(tǒng)的模態(tài)振型，可以將特征值 和 代入方程組中的任意一個(gè)方程中（不管代入哪個(gè)方程結(jié)果都一樣，因?yàn)楫?dāng)式 成立時(shí)，兩個(gè)方程線性相關(guān)，僅相差一個(gè)比例系數(shù)，而每個(gè)振型本身就是一個(gè)可縮放的且各個(gè)元素相對(duì)大小保持不變系數(shù)列）。
但是，可以根據(jù)自己的需求對(duì)模態(tài)振型進(jìn)行歸一化，在試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中，通常是以激勵(lì)點(diǎn)的坐標(biāo)為參考進(jìn)行歸一化。
這里選擇方程組中上面的方程：
并以坐標(biāo) 振動(dòng)傳感器為參考點(diǎn)進(jìn)行歸一化，那么根據(jù)式 振動(dòng)幅值和方向歸一化后有：
那么，代入個(gè)特征值，將得到階模態(tài)振型：
那么，代入第二個(gè)特征值，振動(dòng)傳感器將得到第二階模態(tài)振型：
在振動(dòng)時(shí)，該兩自由度系統(tǒng)會(huì)按照這兩個(gè)振動(dòng)頻率和振型的線性組合振動(dòng)，其具體組合形式取決于實(shí)際初始條件，但固有頻率和振型都是系統(tǒng)的固有屬性，與外界輸入無(wú)關(guān)。
同理，如果以坐標(biāo) 為參考點(diǎn)進(jìn)行歸一化，那么根據(jù)式 振動(dòng)幅值和方向歸一化后有：
那么，代入個(gè)特征值，將得到階模態(tài)振型：
那么，代入第二個(gè)特征值，將得到第二階模態(tài)振型：
為了直觀，用PPT做了個(gè)示意動(dòng)畫(huà)：
模態(tài)振型現(xiàn)在代入具體數(shù)值及初始條件來(lái)計(jì)算一個(gè)實(shí)例：
還是同樣對(duì)于這個(gè)兩自由度系統(tǒng)，令 ， ， ， 。 的初始條件為： ， ； 的初始條件為： ， .
得運(yùn)動(dòng)方程：
得到特征多項(xiàng)式為：
解得兩個(gè)特征值： ； ，對(duì)應(yīng)兩個(gè)固有頻率： ； .
以 為參考進(jìn)行歸一化，并選擇方程組中上面的方程：
代入個(gè)特征值得到階模態(tài)為：
該振型可以這樣解讀：當(dāng)坐標(biāo) 運(yùn)動(dòng) 振動(dòng)傳感器個(gè)單位位移時(shí)，坐標(biāo) 同向（同相位）運(yùn)動(dòng) 個(gè)單位位移。
階振型代入第二個(gè)特征值得到第二階模態(tài)為：
該振型可以這樣解讀：當(dāng)坐標(biāo) 運(yùn)動(dòng) 個(gè)單位位移時(shí)，坐標(biāo) 反向（反相位）運(yùn)動(dòng) 個(gè)單位位移。
第二階振型在 機(jī)械振動(dòng)理論(1)-單自由度系統(tǒng) 中，得到單自由度欠阻尼系統(tǒng)的時(shí)域解形式為[3]：
其中系數(shù)由初始條件決定，其與 互為一對(duì)復(fù)共軛，表示衰減率，則表示阻尼振動(dòng)頻率。
而對(duì)于該兩自由度系統(tǒng)，如果先忽略阻尼項(xiàng)，考慮無(wú)阻尼情況，即式 ，
各個(gè)坐標(biāo)的時(shí)域通解形式為：
因?yàn)槭? 中各個(gè)復(fù)指數(shù)項(xiàng)代入后都能夠使得式 成立，不妨簡(jiǎn)寫(xiě)為：
對(duì)于 , 代表坐標(biāo)， 代表模態(tài)。
該解的形式說(shuō)明：總的振動(dòng)是各個(gè)模態(tài)振動(dòng)的線性疊加效果。
解的振動(dòng)傳感器一階導(dǎo)數(shù)為：
代入初始條件：
應(yīng)用模態(tài)振型 及 ，可以將式 縮減為只含有 個(gè)未知量的方程組：
解得：
代入式 得：
根據(jù)Euler公式，有： ，有：
上面的結(jié)果說(shuō)明，兩自由度的系統(tǒng)可能以階固有頻率振動(dòng)，可能以第二階固有頻率振動(dòng)，也可能是兩種固有頻率振動(dòng)的線性組合，實(shí)際要看初始條件如何。
前面的計(jì)算雖然用到了特征值和特征向量，但還不是嚴(yán)格意義上的模態(tài)分析法。
下面介紹的是通過(guò)解析模態(tài)分析法求解前面已經(jīng)計(jì)算的特征值和特征向量，將特征向量按列排布就得到所謂的模態(tài)振型矩陣：
對(duì)振動(dòng)傳感器于模態(tài)分析，特征向量之間的正交性是一個(gè)重要性質(zhì)，可以將個(gè)特征值（階固有頻率）及其對(duì)應(yīng)的個(gè)特征向量（階模態(tài)振型）代入到式 中，有：
展開(kāi)為：
左乘第二階模態(tài)振型的轉(zhuǎn)置有：
由于， 為對(duì)稱矩陣，因此左右均轉(zhuǎn)置有（因?yàn)? ）：
同理有：
比較式 和 ，有：
因?yàn)檫@里假設(shè)沒(méi)有重特征根，所以 ，因此有： 和 成立。
即：
但是，
其中， 和 分別為第 階的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度。
所以有：
實(shí)現(xiàn)了方程之間的解耦，就可以用單自由度的知識(shí)進(jìn)行求解。
代入具體數(shù)值，
解耦后的方程組：
這里采用了坐標(biāo)變換： ，或?qū)憺? .
而：
那么，振動(dòng)傳感器可以將原物理坐標(biāo)系下的初始條件變換到模態(tài)坐標(biāo)上去：
由 機(jī)械振動(dòng)理論(1)-單自由度系統(tǒng) 中的推導(dǎo)可知，對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)，單自由度系統(tǒng)的時(shí)域解為： .
所以模態(tài)位移為： 和 。
要得到物理坐標(biāo)系下的位移值，則需要再做一次坐標(biāo)變換，將模態(tài)坐標(biāo)：
所以有：
可以看出，在該初始條件下，系統(tǒng)振動(dòng)是兩種模態(tài)振動(dòng)的疊加效果。
做振動(dòng)傳感器快速傅里葉變換有：
那么存在系統(tǒng)只以一種模態(tài)（一種固有頻率和振型）振動(dòng)的情況嗎？答案是：存在的。關(guān)鍵在于如何設(shè)定初始條件。
如果選擇的初始條件恰好匹配了一階模態(tài)振型，振動(dòng)傳感器那么系統(tǒng)將只以這一個(gè)固有頻率振動(dòng)。
例如該例子，如果初始條件是： ， ； ， . 注意，該初始位移與階振型匹配（即，同比例）。那么將該初始位移轉(zhuǎn)化到模態(tài)坐標(biāo)下是：
那么，在模態(tài)坐標(biāo)下的時(shí)域解為 ：
再轉(zhuǎn)換到物理坐標(biāo)系去：
結(jié)果有：
即，在該初始條件下，系統(tǒng)只以階固有頻率振動(dòng)?？梢钥闯鰞蓚€(gè)坐標(biāo)的位移同向。
做快速傅里葉變換有：
同理，如果初始條件是： ， ； ， . 注意，該初始位移與第二階振型匹配（即，同比例）。那么在該初始條件下，系統(tǒng)只以第二階固有頻率振動(dòng)?？梢钥闯鰞蓚€(gè)坐標(biāo)的位移反向。
做快速傅里葉變換有：
最后，考慮一下阻尼存在的情況。對(duì)于無(wú)主動(dòng)阻尼器的一般機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)而言，阻尼很小，所以將其近似為比例阻尼是可以被接受的，比例阻尼意味著各個(gè)坐標(biāo)之間的相位差為 或 ，模態(tài)振型系數(shù)為實(shí)數(shù)。
如果是比例阻尼，有 ，且 為實(shí)數(shù)。
這樣在模態(tài)分析尋找特征值和特征向量的過(guò)程中可以先將阻尼忽略。只需要在后面計(jì)算出模態(tài)阻尼矩陣： 。
證明：
因此可得到解耦的，考慮阻尼的模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程：
而單自由度系統(tǒng)的時(shí)域解中也將阻尼考慮了進(jìn)去：
其他的步驟都與上述例子中的處理方法一致。
另外，在處理特征向量的時(shí)候，通常會(huì)采用單位模態(tài)質(zhì)量歸一化法，得到較為常見(jiàn)的模態(tài)振型形式，為后續(xù)計(jì)算提供方便。
Matlab 代碼
clearclcclose allFs = 100e3;T = 1/Fs;L= 20000;t= (0:L-1)*T;% t = linspace(0,0.2,10000);% m = [1 0;0 0.5]; % kgk = [3E7 -2E7; -2E7 2E7]; % N/mc = 0.1*m + 0.*k; % N*sec/meter[V,D]=eig(k,m); % Eigenvalue and EigenvectorV(1,1) = V(1,1)/V(2,1);V(1,2) = V(1,2)/V(2,2);V(2,1) = V(2,1)/V(2,1);V(2,2) = V(2,2)/V(2,2); % Normalization to X2% Modal analysismq = V * m * V ;for i = 1:size(D,1) for j = 1:size(D,1) if mq(i,j)<10E-10mq(i,j)=0;endendendkq = V * k * V ;for i = 1:size(D,1) for j = 1:size(D,1) if kq(i,j)<10E-10kq(i,j)=0;endendendomega_n1 = sqrt(kq(1,1)/mq(1,1)); %rad/somega_n2 = sqrt(kq(2,2)/mq(2,2)); %rad/scq = V * c * V ;for i = 1:size(D,1) for j = 1:size(D,1) if cq(i,j)<10E-10cq(i,j)=0;endendendzeta1= 0;zeta2= 0;% zeta1= 0.5*cq(1,1)/mq(1,1)/omega_n1;% zeta2= 0.5*cq(2,2)/mq(2,2)/omega_n2;% x0 = [1 -1];% x0 = [1 -0.5];x0 = -2*V(:,2);% x0 = [-1.6862 -2];% x0 = [1.1862 -2];q0 = V/x0;dx0 = [0 0];dq0 = V/dx0; q1 = exp(-zeta1*omega_n1*t).*(q0(1)*cos(sqrt(1-zeta1^2)*omega_n1*t) +... (dq0(1)+zeta1*omega_n1*q0(1))/sqrt(1-zeta1^2)/omega_n1*... (sin(sqrt(1-zeta1^2)*omega_n1*t))); q2 = exp(-zeta2*omega_n2*t).*(q0(2)*cos(sqrt(1-zeta2^2)*omega_n2*t) +... (dq0(2)+zeta2*omega_n2*q0(2))/sqrt(1-zeta2^2)/omega_n2*... (sin(sqrt(1-zeta2^2)*omega_n2*t)));x1 = zeros(1,length(t));x2 = zeros(1,length(t));for cnt = 1: length(t)x = V * [q1(cnt);q2(cnt)];x1(cnt) = x(1);x2(cnt) = x(2);endfigure(1)hold onplot(t,x1,r-,linewidth,1.5)plot(t,x2,b-,linewidth,1.5)grid on;axis([0 0.02 -3 3])title(/fontsize{10}/fontname{Times New Roman}Damped Response of a Two Degree of Freedom System);xlabel(/fontsize{10}/fontname{Times New Roman}/it Time /rm / s);ylabel(/fontsize{10}/fontname{Times New Roman}/it Displacement /rm / mm);legend(x_1,x_2)set(gcf,unit,centimeters,position,[0 10 13.53 9.03],color,white);%% FFTY1= fft(x1);P12 = abs(Y1/L);P11 = P12(1:L/2+1);P11(2:end-1) = 2*P11(2:end-1);Y2= fft(x2);P22 = abs(Y2/L);P21 = P22(1:L/2+1);P21(2:end-1) = 2*P21(2:end-1);f= Fs/2*linspace(0,1,L/2+1);figure(2)hold onplot(f,P11,r- ,linewidth,1.5)plot(f,P21,b--,linewidth,1.5)axis([0 1500 0 2])title(/fontsize{10}/fontname{Times New Roman}Frequency components);xlabel(/fontsize{10}/fontname{Times New Roman}/it f /rm / Hz);% ylabel(/fontsize{10}/fontname{Times New Roman}/it Amplitude /rm / mm);legend(x_1,x_2,location,best)grid on;set(gcf,unit,centimeters,position,[0 10 13.53 9.03],color,white);參考^傅志方, 華宏星. 模態(tài)分析理論與應(yīng)用[M]. 上海交通大學(xué)出版社, 2000.^T.L. Schmitz, K.S. Smith, Machining Dynamics, springer, Springer US, Boston, MA, 2009.^T.L. Schmitz, K.S. Smith, Mechanical Vibrations, Springer, Springer US, Boston, MA, 2012.儀表網(wǎng) 設(shè)計(jì)制作，未經(jīng)允許翻錄必究 .? ? ?
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