江蘇傳生電子科技有限公司
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閱讀：133發(fā)布時間：2025-4-4
振動傳感器現(xiàn)在能看到這里的人，非物理專業(yè)（或者說數(shù)學專業(yè)）的人已經(jīng)不多了，所以我即將換一種輕松而又物理的語調(diào)來敘述這樣一個優(yōu)美的微振動理論。
一、單自由度、自由振動問題的出發(fā)點是簡單的，我們?nèi)绾蚊枋鲆粋€在勢能極小值點附近運動的物體？
首先，寫出體系的拉格朗日量：
此外，對體系做一個泰勒展開保留至二階：
當我們考慮一個這樣的運動：，其中，并且
那么，選取為一新的廣義坐標，系統(tǒng)的拉格朗日量就是：
其中
對應的拉格朗日方程是：，由于方程不顯含有自變數(shù)，先考慮這是一個周期運動。
“振動傳感器傅里葉變換"后得到：
這個方程有解的的條件（物理要求）是：
由于頻譜上無展寬，而取值為無窮大以保證傅里葉積分的收斂性，從而，其中系數(shù)A、B靠初始條件而定。
帶入方程驗證知，這確實是實在的解。采取上面的辦法是為多自由度振動和強迫振動做一個鋪墊，也就是開了車的。
注意到一般是純實的，可以寫作
二、多自由度、自由振動多自由度，同樣做類似的微振動近似處理，期待的拉格朗日量就是：
其中動能、勢能都是正定的二次型，因此引入
得到，現(xiàn)在問題的思路有兩個：
思路一：傅里葉變換振動傳感器首先獲得其歐-拉方程：
“傅里葉變換"之后，求出其根，并由于積分的收斂性要求：
思路二：二次型對角化方法線性代數(shù)理論告訴我們，對于正定對稱的，可以有如下分解：
首先M可以寫作:，其中是非退化的。
另外，對于對稱正定矩陣相似且合同于一對角陣，即主軸變換，且本征值都是正的：
所以
可以看出，變換之后的拉格朗日量是解耦的，是等效為了一些新坐標的直接疊加，而褪去了耦合。
對應的微分方程是：
是解耦了的。
變換之后的坐標叫做簡正坐標。
三、對稱性致簡并矩陣
的譜會存在可能的簡并，這往往對應著體系存在一個對稱操作。
給出一個簡單的習題：
中的題
（侵刪）
小問無疑是簡單易求的，順帶求出各模式的簡并程度，從直覺上給出可能的對稱操作。
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