摘　要:磁性測厚儀的傳感器信號是強(qiáng)非線性函數(shù)，其準(zhǔn)確擬合是測厚儀高精度測量的基礎(chǔ)。應(yīng)用BP網(wǎng)絡(luò)對其進(jìn)行擬
合是一種新的嘗試。本文將基于貝葉斯正則化L-M算法的BP網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于測厚儀的研究中，編制了神經(jīng)元訓(xùn)練程序。將訓(xùn)練好的神經(jīng)元用于測厚儀的軟件設(shè)計中，仿真實(shí)驗(yàn)和測厚儀的實(shí)際測試結(jié)果表明，相對于平方多項(xiàng)式和分段線性擬合算法,該算法可提高精度，具有良好的泛化能力，經(jīng)過較少的訓(xùn)練步長，即可滿足實(shí)用精度。
關(guān)鍵詞：涂層，測厚，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，曲線擬合
       涂層無損檢測已經(jīng)實(shí)現(xiàn)商品化，但就其根據(jù)電磁感應(yīng)原理而設(shè)計的涂層厚度檢測設(shè)備而言, 尚有如下缺點(diǎn)[ 1] :儀器有較大的系統(tǒng)誤差；測量環(huán)境的改變(如溫度、介質(zhì)、電場等)將會使儀器有較大的測量誤差;不同鐵磁基體或工作形狀對測量的影響不易消除；難于在涂覆過程中對涂層厚度進(jìn)行動態(tài)監(jiān)測。由于測量原理的非線性, 很小的干擾都會影響測量的精度，大大影響了儀器的性能指標(biāo)。在測厚儀中，為了減小測量誤差(溫度、介質(zhì)的改變), 經(jīng)常要進(jìn)行儀器的校準(zhǔn)，需要重新擬合傳感器信號曲線，現(xiàn)有的擬合方法都有其局限性, 并不能很好的滿足高性能要求。BP網(wǎng)絡(luò)及其變化形式，是前向網(wǎng)絡(luò)的核心, 并體現(xiàn)了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)華的部分。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對于任意的連續(xù)函數(shù)或映射關(guān)系, 能以任意給定精度進(jìn)行逼近 。利用人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的強(qiáng)非線性映射能力對測厚儀傳感器感生電壓e與涂層厚度d的關(guān)系曲線進(jìn)行擬合, 可以得到很高的擬合精度。本文利用基于貝葉斯正則化方法改進(jìn)的L-M算法進(jìn)行曲線擬合, 獲得了很好的擬合性能和高的網(wǎng)絡(luò)泛化能力。
工作原理


電磁感應(yīng)法檢測鐵磁基體非鐵磁性材料表面涂層厚度是利用基體和涂層磁性能的本質(zhì)區(qū)別, 按其磁導(dǎo)率的明顯差異而設(shè)計的表面涂層厚度的無損檢測方法。由于基體的磁阻遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于涂層的磁阻, 如涂層的厚度不同, 則探頭距離基體表面的遠(yuǎn)近不同,因而探頭的激勵線圈產(chǎn)生的磁通量不同, 導(dǎo)致了探頭上測量線圈中感生電壓不同。通過測量這個感生電壓信號的差異就可獲得涂層厚度的信息。在理想情況下, 感生電壓e與涂層厚度d有確定的解析關(guān)系。


式中, e-感生電壓(單位V), f-磁場變化頻率(單位rad/s), W-測量線圈匝數(shù), Υm -磁通量(單位Wb), i-線圈電流(單位A), μ-磁導(dǎo)率(單位H/m), S -線圈面積(單位m2 ), d -涂層厚度(單位m)。
函數(shù)d=f(e)為一強(qiáng)非線性函數(shù), 其擬合方法有多種方法[ 4] [ 5] , 如修正反正切函數(shù)擬合、高次多項(xiàng)式擬合、雙曲函數(shù)、三次樣條函數(shù)分段插值, 線性多分段插值。采用曲線擬合存在的主要問題是, 測量精度難以保證。多項(xiàng)式插值存在約束條件過多,次數(shù)確定還沒有理論依據(jù), 次數(shù)過高, 會出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”;三次樣條函數(shù)分段存在“不合理波動”;線性多分段也存在沒法克服的問題, 為了獲得線性的傳感信號[ 1] , 傳感器采用了高頻諧振技術(shù), 傳感器工作頻率在30 ～ 80kHz范圍。過高的傳感器工作頻率導(dǎo)致對基體的適應(yīng)性差, 當(dāng)基體的材質(zhì)不同時(如低碳鋼、高碳鋼等, 也即材料的導(dǎo)磁率不同)對測量結(jié)果的影響較大, 對被測物體形狀(如曲率半徑大小等)的適應(yīng)性差及不適合測非金屬鍍層的厚度。
基于貝葉斯正則化的L-M算法


BP算法的主要思想是把學(xué)習(xí)過程分為兩個階段:正向傳播過程, 給出輸入信息通過輸入層經(jīng)隱含層逐層處理并計算每個單元的實(shí)際輸出;誤差反向傳播過程, 若在輸出層未能得到期望的輸出值, 則逐層遞歸的計算實(shí)際輸出與期望輸出誤差, 據(jù)誤差調(diào)節(jié)權(quán)值。L-M算法[ 6] [ 7] 是改進(jìn)的BP算法, 具有二階的訓(xùn)練速度, 但不必直接計算海森矩陣。對于L-M學(xué)習(xí)算法來說, 若處理問題的目標(biāo)函數(shù)是平方和的形式, 海森矩陣和梯度函數(shù)可用式H=JTJ和g=JTe來近似計算, 這里J是雅可比矩陣, 是網(wǎng)絡(luò)權(quán)重和網(wǎng)絡(luò)偏差的一階導(dǎo)數(shù), e是網(wǎng)絡(luò)矢量誤差。在整個迭代計算過程中, L-M算法用下列海森矩陣的近似值來表示：
xk+1公式
μ如果取零, 上式就是采用近似海森矩陣的牛頓法, 如果μ值很大, 就成為帶有較小步長的最速梯度下降法。在逼近誤差最小時, 擬牛頓法是較快的和精度較高的, 性能與牛頓法盡可能地接近。當(dāng)每步迭代成功后, μ值都要減小, 僅僅當(dāng)每次試探性迭代使目標(biāo)函數(shù)增加時, μ值才增大, 這樣, 在算法的每一次迭代中, 目標(biāo)函數(shù)都要下降。一個過渡訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可能會對訓(xùn)練樣本集達(dá)到較高的匹配效果, 但對一個新的輸入樣本矢量卻可能會產(chǎn)生與目標(biāo)矢量差別較大的輸出, 即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力較差。本文利用基于貝葉斯正則化的方法改進(jìn)L-M算法的泛化能力。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練性能函數(shù)常采用均方誤差mse, 即:


在正則化方法中, 網(wǎng)絡(luò)性能函數(shù)經(jīng)過改進(jìn)變?yōu)槿缦滦问?


式中, γ為比例系數(shù), msw為所有網(wǎng)絡(luò)權(quán)值平方和的平均值, 即


　通過采用新的性能指標(biāo)函數(shù), 可以在保證網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差盡可能小的情況下使網(wǎng)絡(luò)具有較小的權(quán)值, 即使得網(wǎng)絡(luò)的有效權(quán)值盡可能少, 相當(dāng)于自動縮小了網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模。常規(guī)的正則化方法通常很難確定比例系數(shù)λ的大小, 而貝葉斯正則化方法則可以在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中自適應(yīng)的調(diào)節(jié)γ的大小, 并使其達(dá)到, 使訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)具有較好的推廣能力。
測厚儀傳感器曲線擬合BP算法


1、現(xiàn)有擬合算法
在測厚儀的設(shè)計中, 常用兩種擬合函數(shù), 即平方系數(shù)多項(xiàng)式和多段直線方法:
d公式
利用多分段的直線擬合, 需要線性的傳感器信號, 一般很難達(dá)到要求。平方多項(xiàng)式用最小二乘法進(jìn)行擬合, 克服了高次多項(xiàng)式的數(shù)值振蕩的缺點(diǎn), 保證了曲線的平滑性, 具有一定的擬合精度。其擬合效果如圖1所示。
圖1平方多項(xiàng)式擬合效果


2、貝葉斯正則化L-M擬合算法磁性測厚儀傳感器信號的貝葉斯正則化L-M擬合算法, 其BP神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型如圖2示。為一單輸入、單輸出、單隱層的BP網(wǎng)絡(luò), 隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)取為12, 激活函數(shù)為logsig。即為:


圖2用于擬合的BP神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型
當(dāng)樣本為66時, 選擇訓(xùn)練步長為50時, 其擬合效果。BP擬合和平方多項(xiàng)式擬合誤差比較所示, 貝葉斯正則化L-M擬合算法具有更高的擬合精度, *可以滿足測量誤差為±(1%H+0.7)μm(H為被測涂層厚度)的精度要求。將
圖3樣本為66時的擬合曲線
圖4BP擬合和平方多項(xiàng)式擬合誤差比較
樣本分為兩組, 33個樣本用于訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò), 另33個樣本用于檢驗(yàn)算法的泛化能力, 取得了良好的效果。其泛化的誤差曲線如圖5所示。
圖5訓(xùn)練樣本為33時的網(wǎng)絡(luò)泛化能力
　結(jié)論


將基于貝葉斯正則化L-M算法的BP網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于測厚儀傳感器信號的擬合, 實(shí)用效果表明, 相對于二次多項(xiàng)式和分段線性擬合算法, 該算法提高了擬合精度, 具有良好的泛化能力, 在滿足儀器實(shí)用精度的條件下, 訓(xùn)練步數(shù)較少, 光滑性較好。