振動(dòng)傳感器現(xiàn)在能看到這里的人，非物理專業(yè)（或者說數(shù)學(xué)專業(yè)）的人已經(jīng)不多了，所以我即將換一種輕松而又物理的語調(diào)來敘述這樣一個(gè)優(yōu)美的微振動(dòng)理論。

問題的出發(fā)點(diǎn)是簡單的，我們?nèi)绾蚊枋鲆粋€(gè)在勢能極小值點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的物體？

首先，寫出體系的拉格朗日量：

此外，對體系做一個(gè)泰勒展開保留至二階：

當(dāng)我們考慮一個(gè)這樣的運(yùn)動(dòng)：，其中，并且

那么，選取為一新的廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的拉格朗日量就是：

其中

對應(yīng)的拉格朗日方程是：，由于方程不顯含有自變數(shù)，先考慮這是一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)。

“振動(dòng)傳感器傅里葉變換”后得到：

這個(gè)方程有解的的條件（物理要求）是：

由于頻譜上無展寬，而取值為無窮大以保證傅里葉積分的收斂性，從而，其中系數(shù)A、B靠初始條件而定。

帶入方程驗(yàn)證知，這確實(shí)是實(shí)在的解。采取上面的辦法是為多自由度振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)做一個(gè)鋪墊，也就是開了車的。

注意到一般是純實(shí)的，可以寫作

多自由度，同樣做類似的微振動(dòng)近似處理，期待的拉格朗日量就是：

其中動(dòng)能、勢能都是正定的二次型，因此引入

得到，現(xiàn)在問題的思路有兩個(gè)：

振動(dòng)傳感器首先獲得其歐-拉方程：

“傅里葉變換”之后，求出其根，并由于積分的收斂性要求：

線性代數(shù)理論告訴我們，對于正定對稱的，可以有如下分解：

首先M可以寫作:，其中是非退化的。

另外，對于對稱正定矩陣相似且合同于一對角陣，即主軸變換，且本征值都是正的：

所以

可以看出，變換之后的拉格朗日量是解耦的，是等效為了一些新坐標(biāo)的直接疊加，而褪去了耦合。

對應(yīng)的微分方程是：

是解耦了的。

變換之后的坐標(biāo)叫做簡正坐標(biāo)。

矩陣

的譜會(huì)存在可能的簡并，這往往對應(yīng)著體系存在一個(gè)對稱操作。

給出一個(gè)簡單的習(xí)題：

中的題

（侵刪）

小問無疑是簡單易求的，順帶求出各模式的簡并程度，從直覺上給出可能的對稱操作。